Idealtheorie

Den Gegenstand des Berichts bildet die Entwicklung der modernen Idealtheorie als einer selbstandigen Disziplin im Rahmen der allgemeinen Algebra und Arithmetik unter ausschlieBlicher Beschrankung auf den kommutativen Fall. Die moderne Idealtheorie geht einerseits auf die DEDEKINDsche Be handlung der endlichen algebraischen Zahlk6rper, andererseits auf die KRoNEcKER-LASKER-MAcAuLAyschen Untersuchungen tiber Polynom moduln zuriick. Entscheidend war die 1919 von E. NOETHER gemachte Entdeckung, daB allein mit Hilfe des von DEDEKIND stammenden ab strakten "Teilerkettensatzes" die wichtigsten Zerlegungssatze von LAs KER und MACAULAY in auBerst durchsichtiger Weise abgeleitet und weit gehend verallgemeinert werden k6nnen. Ihrem doppelten Ursprung entsprechend hat die moderne Ideal theorie zwei grundsatzlich verschiedene Aufgaben: Auf der einen Seite (KRoNEcKER-LAsKER-MAcAuLAysche Richtung) handelt es sich darum, in einem Ringe ffi, der im allgemeinen auch mit Nullteilern behaftet sein darf, die Zerlegungen der einzelnen ("ganzen") Ideale zu unter suchen, wobei diese Ideale als "ffi-Moduln", d. h. als additive ABELsche Gruppen mit ffi als multiplikativem Operatorenbereich aufgefaBt werden. Auf der anderen Seite (DEDEKINDsche Richtung) geht man von einem K6rper Sf aus, in dem ein "ganz abgeschlossener" Integritatsbereich ~ ausgezeichnet ist, und stellt sich die Aufgabe, durch Untersuchung der multiplikativen Gruppe aller in Sf liegenden ("ganzen" und "nicht ganzen") "umkehrbaren" ~-Ideale einen Einblick in die Teilbar keitsverhaltnisse der Elemente von Sf hinsichtlich ~ zu gewinnen. Urn den Unterschied zwischen beiden Richtungen kurz zu charak terisieren, spreche ich von einer "additiven" und einer "multiplika tiven" Idealtheorie. (Ausfiihrliche Entwicklung der Grundlagen und Gegeniiberstellung der charakteristischen Probleme beider Richtungen in §1.) .