Encyklopadie Der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen

065 Um solche im Wesen der Aufgabe begründete Forderungen an geben zu können, müssen zunächst einige vorbereitende Bemerkungen über die singulären Stellen der Lösungen gewöhnlicher Differential ter gleichungen n Ordnung gemacht werden. Es sei y eine in der Um ter gebung von X analytische Lösung einer Differentialgleichung n Ord o nung, und es sei auf einem von X ausgehenden Wege l in der kom o plexen x-Ebene Xl die erste singuläre Stelle, welche getroffe~ wird. Konvergieren dann y und seine n - 1 ersten Ableitungen bei Annähe rung an Xl nach festen endlichen oder unendlich großen Werten, so hat man in Xl eine Singularität von der Art, wie sie im Referat II A 4a (P. Painleve) wenigstens für die einfachsten Fälle besprochen sind; wenn aber entweder y oder mindestens eine seiner n - 1 ersten Ab leitungen bei Annäherung an Xl auf dem Wege 1 nach keinem be stimmten Wert konvergiert, so kennt man in Xl weder gewöhnliche noch außergewöhnliche Anfangsbedingungen; Xl ist dann für y eine Unbestimmtheitsstelle. Des weiteren unterscheidet man bei gewöhn liche~ Differentialgleichungen zweierlei Arten von si~ulären Punkten der Lösungen, nämlich: a) feste singuläre Stellen, das sind singuläre Stellen, welche von den Integrationskonstanten nicht abhängen; b) verschiebbare singuläre Stellen, d. h. solche singuläre Stellen, welche durch Änderung der Integrationskonstanten verschoben werden können. Die singulären Stellen der Lösungen von linearen Differential gleichungen sind fest, vgl. das Ref. II B 5 (E. Hilb), Nr. 2.