Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trojkaty i trojki

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceow zlozyly sie cztery artykuly. Pobiezne przewertowanie ksiazeczki moze sprawic wrazenie, ze zbior zostal zdominowany przez geometrie: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trojkaty, slowo geometria pojawia sie az dwukrotnie w tytule drugiej. Tytul ostatniej miniatury moze nie kojarzyc sie z geometria, ale wystarczy przerzucic kartki, aby zobaczyc wykresy podobne do tych, jakie pojawiaja sie na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrazenie jest zludne. W rzeczywistosci material zawarty w miniaturach okazuje sie byc blizszy arytmetyce niz geometrii. Miniatura pierwsza jest polaczeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trojek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorac, szukamy wszystkich trojkatow prostokatnych o bokach calkowitych. Ale zarowno odpowiedz jak i metody sluzace jej uzasadnieniu sa typowo arytmetyczne. W istocie bowiem poszukujemy wszystkich calkowitych rozwiazan rownania Pitagorasa x2 + y2 = z2. Miniatura druga traktuje o geometrii kartki w kratke. Glownym obiektem zainteresowania sa tu tzw. wielokaty kratowe, czyli wielokaty, ktore mozna tak umiescic na kartce zeszytu w kratke, aby wierzcholki lezaly w punktach przeciecia linii tworzacych kratki. Autor stara sie przekonac Czytelnika, ze stanowia one pomost miedzy arytmetyka i geometria. Z jednej strony bowiem do ich analizy niezbedne sa metody arytmetyczne. Z drugiej strony, przy ich pomocy mozna pewne fakty czysto arytmetyczne udowodnic geometrycznie. Zauwazmy, ze trojkaty pitagorejskie z pierwszej miniatury sa pewnymi szczegolnymi trojkatami kratowymi. Z drugiej strony, rownanie Pitagorasa zadaje w przestrzeni pewien stozek i poszukiwanie calkowitych rozwiazan tego rownania to w istocie poszukiwanie punktow kratowych na tej powierzchni. Miniatura trzecia przenosi nas w swiat algebry. Uczac sie matematyki, z algebra spotykamy sie po raz pierwszy, gdy pewne konkretne, ale na razie nieznane liczby zastepujemy literami. Oswajajac sie z rachunkiem na "literkach", zaczynamy rozumiec wzory algebraiczne jako ogolne prawa rzadzace rachunkiem na liczbach. Poznajac nowe pojecia, piszemy analogiczne wzory, w ktorych litery moga zastepowac juz nie tylko liczby, ale rowniez wektory, funkcje itp. W kolejnym etapie - przynajmniej intuicyjnie - zaczynamy traktowac wyrazenia algebraiczne jako samoistne obiekty, na ktorych mozemy prowadzic operacje arytmetyczne. Autorka zaprasza Czytelnika do zrobienia nastepnego kroku, w ktorym symbolami zostaja oznaczone juz nie tylko obiekty dzialan, ale takze same dzialania. Pozwala to dostrzec analogie pomiedzy z pozoru calkiem roznymi "swiatami" ( na przyklad, co laczy dodawanie liczb rzeczywistych i skladanie funkcji wzajemnie jednoznacznych). Prowadzi to do abstrakcyjnych struktur algebraicznych (grup, pierscieni i cial). Pozornie miniatura ta calkowicie wylamuje sie z nurtu geometrycznego, ale w rzeczywistosci ma znacznie wiecej wspolnego z geometria, nizby to na pierwszy rzut oka wynikalo. Istotnym zrodlem idei prowadzacych do pojecia grupy byly grupy symetrii obiektow geometrycznych. Koda zamykajaca calosc jest zaledwie kilkustronicowa miniatura o twierdzeniu Erdosa i Mordella. Samo twierdzenie jest pieknym i elementarnym rezultatem z geometrii trojkata i az dziw bierze, ze musialo czekac na swoje odkrycie az do lat trzydziestych XX wieku. Niespodziewanie miniatura ta wpasowuje sie w ciag opowiadan o zwiazkach arytmetyki i geometrii, lecz tym razem lacznikiem sa nie rozwazane obiekty matematyczne, lecz ludzie. Z dwoch wymienionych matematykow Paul Erdos jest znacznie lepiej znany i to jemu autorzy poswiecili kilka slow. O zwiazkach autora dowodu, Louisa Mordella, z arytmetyka napomyka zaledwie przypis. Mordell interesowal sie punktami wymiernymi (czyli punktami o wspolrzednych wymiernych) na pewnych specjalnych krzywych zwanych krzywymi eliptycznymi. (Na marginesie, krzywe te wyrozniaja sie tym, ze na ich punktach mozna w naturalny sposob zadac strukture grupy . . . ). Pracujac nad tym zagadnieniem postawil hipoteze udowodniona w latach osiemdziesiatych XX w. przez Gerarda Faltingsa, ze na dostatecznie ogolnych krzywych liczba punktow wymiernych jest skonczona. Z kolei dowod Faltingsa utorowal droge dowodowi wielkiego twierdzenia Fermata, ktore mowi, ze jesli w rownaniu Pitagorasa zamienimy kwadraty wyzszymi potegami, to nowe rownanie nie bedzie mialo innych rozwiazan calkowitych jak oczywiste rozwiazanie zerowe. Ten powrot do Pitagorasa zamyka kolo opowiesci.