Monodromie spectrale d'opérateurs non auto-adjoints

Nous proposons de construire un invariant combinatoire, appelée la "monodromie spectrale" ŕ partir du spectre d'un seul opérateur h-pseudo-différentiel (non auto-adjoint) ŕ deux degrés de liberté dans la limite semi-classique. Notre inspiration est issue de la monodromie quantique qui est définie pour le spectre conjoint d'un systčme intégrable de n opérateurs h-pseudo-différentiels auto-adjoints qui commutent, donnée par S. Vu Ngoc. Le premier cas simple traité dans ce travail est celui d'un opérateur normal. Dans ce cas, son spectre discret peut ętre identifié au spectre conjoint d'un systčme quantique intégrable. Le deuxičme cas plus complexe que nous proposons est une petite perturbation d'un opérateur auto-adjoint en supposant une propriété d'intégrabilité classique. Nous montrons que son spectre discret (dans une petite bande autour de l'axe réel) possčde également une monodromie combinatoire. La difficulté ici est qu'on ne connaît pas la description du spectre partout, mais seulement dans un ensemble de type Cantor. De plus, nous montrons aussi que cette monodromie peut ętre identifiée ŕ la monodromie classique (qui est définie par J. Duistermaat.